Concepto par ordenado y producto cartesiano

PAR ORDENADO

Un par ordenado o pareja ordenada es una representación de dos elementos matemáticos con un orden definido, este concepto (por no decir definición) esta determinado únicamente por su posición. Si tenemos un elemento $a$ que pertenece al conjunto $A$ y un elemento $b$ del conjunto $B$, el par ordenado se representa así:

$$(a,b)$$

Donde $a$ es el primer elemento o componente y $b$ es el segundo elemento  o componente del par ordenado, es decir, el elemento $a$ siempre esta a la izquierda del elemento $b$ separado de una coma. Esto significa que si $a\ne$, implica que:

$$(a,b)\ne (b,a)$$

Esto lo diferencia del concepto de conjunto por extensión ya que un conjunto $C$ formado por los elementos $a$ y $b$ no toma en cuenta el orden de sus elementos, simbólicamente podemos escribirlo así:

$$\{a,b\}=\{b,a\}$$

Esto indica que un par ordenado no se puede ser un conjunto (excepto en la teoría axiomática de conjuntos). Otro punto interesante es que si tanto el primer elemento y el segundo elemento del par ordenado son iguales, ¿que ocurre? Simple, para un par ordenado de dos elementos iguales siguen siendo dos elementos diferentes pero determinado por su posición pero no numéricamente hablando.

Me explico: si para un conjunto donde existen dos elementos iguales, la teoría de conjuntos lo toma como un único elemento, pero para un par ordenado, los elementos serán iguales pero siguen siendo dos elementos (algo así como gemelos).

PRODUCTO CARTESIANO

Dados dos conjuntos $A$ y $B$, llamamos producto cartesiano $A\times B$ al conjunto de pares ordenados $(a,b)$ tal que $a\in A$ y $b\in B$, esto es:

$$A\times B=\left\{\right(a,b)|a\in A\wedge B\}$$

o en la forma proposicional:

$$(a,b)\in A\times B$$

Una consecuencia de esta definición es:

$$(a,b)\notin A\times B\leftrightarrow a\notin A\vee b\notin B$$

En efecto, si un par ordenado $(a,b)$ no pertenece al conjunto producto $A\times B$ es porque al menos existe un elemento que no pertenece al conjunto $A$ o al conjunto $B$.

También lo podemos definir como un conjunto potencia si usamos como definición conjuntista de par ordenados $(a,b)=\{\left\{a\right\},\{a,b\}\}$  que planteamos en la sección anterior, pero esta definición lo realizaremos al final de la sección actual para no traer confusiones al desarrollo del titulo.